等边三角形:特征、性质、公式、面积

等边三角形:特征、性质、公式、面积

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等边三角形是一种三角形,其三条边相等,三个内角也相等,每个内角都是60度。由于其独特的性质,等边三角形具有区别于其他类型三角形的特殊属性。此外,它们还有专门的公式来计算面积、周长和其他重要的测量值。本文将深入探讨等边三角形的特征、属性和公式。

求三角形面积的公式:如何简单计算。

计算三角形面积最简单、最实用的公式之一是面积公式,即底乘以高除以二。要计算三角形的面积,你需要知道三角形的底边和高。底边是三角形的底边,高是垂直于底边并指向对顶点的线。将底边乘以高再除以二,就能得到三角形的面积。

例如,如果我们有一个三角形,其底边 8 单位和高度 6 单位,三角形的面积将是8乘以6除以2,结果为24平方单位。

等边三角形:特征、性质、公式、面积

等边三角形是一种所有边都相等的三角形。此外,等边三角形的所有内角也相等,其大小为 60学位。这意味着等边三角形的高也相等,从而更容易计算面积。

要求等边三角形的面积,我们可以使用一个特定的公式。等边三角形面积的计算公式是底乘以高除以二,其中底是三角形的一条边,高是将三角形分成两个全等直角三角形的高。

等边三角形面积公式:找出如何计算此图形的正确面积。

等边三角形是三条边相等、三个内角相等的几何图形,每个内角都是60度。要计算等边三角形的面积,我们可以使用一个简单的公式。

等边三角形面积公式是 A = (边^2 * √3) / 4其中 A 表示三角形的面积,边长表示三角形其中一条边的长度。要计算该图形的正确面积,只需将边长代入公式并进行计算即可。

例如,如果等边三角形的边长为 6 个单位,则其面积可以按如下方式计算: A = (6^2 * √3) / 4 = (36 * √3) / 4 = 9√3 平方单位。因此,等边三角形的面积为 9√3 平方单位。

除了面积公式外,等边三角形还有其他有趣的属性,例如高度,可以使用以下公式找到 h = (边长 * √3) / 2,其中 h 表示三角形的高。

因此,通过了解等边三角形的特征和相关公式,就可以准确地计算出该几何图形的面积和其他测量值。

定义三角形的基本特征。

三角形是一种几何图形,有三条边、三个顶点和三个内角。这些是定义三角形的基本特征。例如 等边三角形,除了这些基本特征外,它还有一个特殊性,就是三条边的长度相等。

Um 等边三角形 它还有三个相等的内角,每个内角都是60度。这意味着它是一个正三角形,所有边和角都相等。

计算面积 等边三角形,我们可以使用公式 A =​​ (l^2 √3) / 4,其中“l”表示其中一条边的长度。该公式源自计算三角形面积的一般公式,但由于边相等而得到了简化。

的属性 等边三角形 使其成为一个对称且规则的图形,这样可以更容易地计算它的许多特征。重要的是要记住,等边三角形只是众多三角形中的一种,每种三角形都有其独特的特征。

等边三角形的特征:它们是什么以及如何识别它们?

等边三角形是一种特殊的三角形,它的三条边相等,三个内角也相等。这一独特性质使等边三角形成为正多边形,这意味着它的所有边和角都全等。

要识别等边三角形,只需检查三条边的长度是否相等。如果所有边都相等,则该三角形为等边三角形。此外,等边三角形的三个内角也等于60度。

相关: 自然数:历史、性质、运算、例子等边三角形的另一个重要特征是它有一条对称轴,该对称轴穿过三角形的顶点,将三角形分成相等的两半。这意味着,即使将三角形绕中心旋转120度,也能获得相同的形状。

等边三角形的性质包括它的高,即通过三角形对边的顶点,与该边垂直的线段。等边三角形的所有高都相等,并将三角形分成三个全等的直角三角形。

计算等边三角形面积的一个重要公式是 A = (l² * √3) / 4,其中 l 是三角形其中一条边的长度。该公式源自计算三角形面积的一般公式,但针对等边三角形的具体情况进行了简化。

总而言之,等边三角形的主要特征是三条边相等,三个内角相等,以及存在一条将三角形等分的对称轴。这些特性使等边三角形成为几何学中最对称、最有趣的多边形之一。

等边三角形:特征、性质、公式、面积

Um 等边三角形 是指三条边都相等的多边形,即三条边的长短相等。因此,它被称为等边多边形。

三角形被认为是几何学中最简单的多边形,因为它们由三条边、三个角和三个顶点组成。对于等边三角形,边相等意味着它的三个角也相等。

等边三角形的特征

等边

等边三角形是由三个直角段组成的扁平闭合图形。三角形根据其特征(例如边和角)进行分类。等边三角形以边长作为分类参数,因为它们完全相同——也就是说,它们全等。

等边三角形是等腰三角形的一个特例,因为它的两条边全等。这就是为什么所有等边三角形都是等腰三角形,但并非所有等腰三角形都是等边三角形。

这样,等边三角形就具有与等腰三角形相同的性质。

等边三角形也可以根据其内角的大小进行分类,例如等边三角形,它有三条边,三个内角大小相同。这些角是锐角,即小于 90°。 o .

组件

三角形通常由多条线和点组成。它们用于计算面积、边、角、中线、角平分线、垂直角平分线和高。

中位数 :是从一边的中点出发,到达对边顶点的一条线。三个中点汇聚于一点,该点称为重心或质心。

角平分线 :是一条将顶角分成两个等角的半线,因此称为对称轴。等边三角形有三条对称轴。

在等边三角形中,角平分线从一个角的顶点向对边延伸,与角的中点相交。这些线会汇聚于一点,称为内心。

调解员 :是一条垂直于三角形边的线段,该线段始于三角形的中点。三角形中有三条中线,它们重合于一点,该点称为外心。

高度 :是从顶点到对边的线,并且该线也垂直于该边。所有三角形都有三条高,它们重合于一点,该点称为垂心。

属性

等边三角形的主要性质是它们始终是等腰三角形,因为等腰三角形由两条全等边形成,而等边三角形由三条全等边形成。

因此,等边三角形继承了等腰三角形的所有属性:

内角

内角和始终等于 180 o 由于它的所有角度都是全等的,所以每个角度都是 60 o .

外角

外角之和始终等于 360 o 因此,每个外角都是 120 o 这是因为内角和外角是互补的,也就是说,它们相加总是等于 180 o .

相关: 什么是格律属性?(举例说明)边之和

两条边的测量值之和必须始终大于第三条边的测量值,即 a + b > c,其中 a、b 和 c 是每条边的测量值。

全等边

等边三角形的三条边的长度相等;也就是说,它们全等。因此,在上一项中,a = b = c。

全等角

等边三角形也称为等角三角形,因为它们的三个内角彼此全等。这是因为它们的所有边也相等。

角平分线、中线和垂直角平分线重合

角平分线将三角形的一条边分成两部分。在等边三角形中,这条边会被分成两个完全相等的部分,也就是说,三角形会被分成两个全等的直角三角形。

因此,从等边三角形的任意角绘制的角平分线与该角对边的中线和垂直角平分线重合。

例如:

下图显示三角形 ABC,其中点 D 将其一条边分为两条线段 AD 和 BD。

当从点 D 向对顶点画一条线时,根据定义,会得到中线 CD,它是相对于顶点 C 和边 AB 的。

由于线段 CD 将三角形 ABC 分成两个相等的三角形 CDB 和 CDA,所以意味着将存在全等的情况:边、角、边,因此 CD 也将是 BCD 的角平分线。

绘制线段 CD 时,将顶角分成两个相等的 30 度角 o ,顶点 A 处的角度继续为 60 o 和线 CD 形成 90 度角 o 相对于中点 D。

线段 CD 形成的角对于三角形 ADC 和 BDC 来说具有相同的度数,也就是说,它们是互补的,因此每个角的度数为:

中值 (ADB) + 中值 (ADC) = 180 ou

2 * 中位数(ADC)= 180 ou

中位数(ADC)= 180 ou ÷2

中位数(ADC)= 90 o .

因此,我们有线段 CD 也是边 AB 的角平分线。

角平分线和高重合

通过将一个角的顶点平分到对边的中点,它将等边三角形分成两个全等的三角形。

这样 90 度角 o (右)形成了。这表明这条线段完全垂直于这条边,根据定义,这条线就是高度。

因此,等边三角形任意角的角平分线都与该角对边的高度重合。

对应的垂心、重心、内心和外心

由于高、中线、角平分线和垂直角平分线同时由同一条线段表示,因此在等边三角形中,这些线段的交点——骨节线、重心、内切圆和周长——将交于同一点:

周长如何计算?

多边形的周长是通过将边数相加来计算的。由于本例中等边三角形的所有边长相等,因此其周长使用以下公式计算:

P = 3 * 拉多。

如何计算身高?

由于高是垂直于底边的线,它向对顶点延伸时,将底边分成两个相等的部分。这样,就形成了两个相等的直角三角形。

高度 (h) 代表对边 (a),边 AC 的一半代表邻边 (b),边 BC 代表斜边 (c)。

利用勾股定理,可以确定高度的值:

a 2 + B 2 = c 2

在哪里:

em 2 = 高度(h)。

b 2 = 边 b / 2。

c 2 = 侧 a。

将这些值代入勾股定理并清除高度即可得到:

h 2 +( 升/ 2) 2 = l 2

h 2 + l 2 / 4 = l 二

h 2 = L 2 – l 2 / 4

h 2 =(4 * l 2 – l 2 ) / 4

h 2 = 3 * G 2 / 4

√ h 2 =√(3 * l 2 / 4)

如果知道全等边形成的角度,则可以通过应用三角关系来计算高度(用腿表示)。

根据所参考的角度,这两条腿被称为对边或相邻边。

例如,在上图中,边 h 与角 C 相对,但与角 B 相邻:

因此,高度可以用以下公式计算:

如何计算边数?

在某些情况下,我们不知道三角形边长的尺寸,但知道它的高度和顶点形成的角度。

为了确定这些情况下的面积,必须应用三角关系。

知道其中一个顶点的角度,就可以识别腿并使用相应的三角比:

相关: 布尔代数:历史、定理和公设、例子

因此,边 AB 将与角 C 对立,但与角 A 相邻。根据与高度对应的边或边,清除另一边以获得该值,同时知道在等边三角形中三条边将始终具有相同的测量值。

面积怎么计算?

三角形的面积总是用相同的公式计算,将底乘以高,然后除以二:

面积=(b * h)÷2

已知高度由以下公式给出:

练习题

第一个练习

等边三角形ABC的每条边长为20厘米。计算这个多边形的高和面积。

解决方案

要确定这个等边三角形的面积,需要计算其高度,因为绘制它时,它将三角形分成两个相等的直角三角形。

因此,可以利用勾股定理来找到它:

a 2 + B 2 = c 2

在哪里:

a = 20/2 = 10 厘米。

b = 高度。

c = 20 厘米

代入定理中的数据:

10 2 + b 2 = 20 2

100 厘米 + b 2 = 400厘米

b 2 = (400 – 100) 厘米

b 2 = 300厘米

b = √300厘米

b = 17,32 厘米。

即三角形的高等于17,32厘米。现在可以通过代入公式来计算指定三角形的面积:

面积=(b * h)÷2

面积=(20厘米 * 17,32厘米)÷2

面积 = 346,40cm 2 ÷2

面积 = 173,20 厘米 2 .

解决这个问题的另一种更简单的方法是将数据代入直接面积公式中,其中也可以隐式地找到高度值:

第二个练习

花卉将被种植在一块等边三角形的地块上。如果该地块的周长为450米,计算花卉占用的面积。

解决方案

已知三角形的周长等于其三条边的总和,并且由于土地具有等边三角形的形状,因此三条边的尺寸或长度相同:

P = 边 + 边 + 边 = 3 * l

3 * l = 450 m。

l= 450 m ÷ 3

l= 150米。

现在我们只需要计算这个三角形的高度。

高将三角形分成两个全等的直角三角形,其中一条边代表高,另一条边代表底的一半。利用勾股定理,可以确定高:

a 2 + B 2 = c 2

在哪里:

a = 150 平方米 = 2 米。

c = 150 m。

b = 高度

代入定理中的数据:

(75 M) 2 + B 2 = (150米) 2

5.625 m + B 2 = 22.500 m

b 2 = 22.500 米 – 5.625 米

b 2 = 16.875 m

b = √16.875米

b = 129,90 m。

因此,花朵占据的面积将是:

面积 = b * h ÷ 2

面积=(150平方米 * 129,9米)÷2

面积=(19.485平方米 2 ) ÷ 2

面积 = 9.742,5m 2

第三次练习

等边三角形ABC被一条从其顶点C到其对边中点D的线段(AB)平分。该线段长62米。计算该等边三角形的面积和周长。

解决方案

已知等边三角形被一条对应于高的线段分割,从而形成两个全等的直角三角形,这反过来也将顶角 C 分成两个等角的角,即 30 ou 每个。

高度形成 90 度角 o 相对于线段 AB,顶点 A 处的角度为 60 o .

因此使用 30 度角 o 作为参考,以高CD为角的邻边,BC为斜边。

根据这些数据,可以利用三角关系确定三角形其中一条边的值:

由于等边三角形所有边的长度完全相同,这意味着等边三角形ABC的每一条边都是71,6米。知道了这一点,我们就可以确定它的面积:

面积 = b * h ÷ 2

面积=(71,6平方米 * 62米)÷2

面积 = 4.438,6m 2 ÷2

面积 = 2.219,3m 2

周长由三条边之和给出:

P = 边 + 边 + 边 = 3 * l

P = 3 * l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 米。

参考文献

阿尔瓦罗·伦东,AR (2004)。技术绘图:活动书。

Arthur Goodman, L.H. (1996)。《代数、三角学与解析几何》。培生教育。

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巴博萨,JL (2006)。平面欧几里得几何。 SBM 里约热内卢, .

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欧几里得,R.P.(1886)。《欧几里得几何原本》。

Héctor Trejo, JS(2006)。几何和三角学。

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