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一、向量范数二、矩阵范数
一、向量范数
定义：（向量范数）对
∀
x
∈
R
n
(
或
C
n
)
\forall x\in \rm R^n(或\rm C^n)
∀x∈Rn(或Cn)，存在唯一的实数
∣
∣
x
∣
∣
\vert\vert x\vert\vert
∣∣x∣∣与之对应，满足条件：
∣
∣
x
∣
∣
≥
0
\vert\vert x\vert\vert\ge0
∣∣x∣∣≥0，当且仅当
x
=
0
x=0
x=0时，
∣
∣
x
∣
∣
=
0
\vert\vert x\vert\vert=0
∣∣x∣∣=0;（正定性）对
∀
λ
∈
R
n
(
或
C
n
)
\forall \lambda \in \rm R^n(或\rm C^n)
∀λ∈Rn(或Cn)，有
∣
∣
λ
x
∣
∣
=
∣
λ
∣
∣
∣
x
∣
∣
\vert\vert\lambda x\vert\vert=\vert\lambda\vert\vert\vert x\vert\vert
∣∣λx∣∣=∣λ∣∣∣x∣∣；（齐次性）对
∀
x
,
y
∈
R
n
(
或
C
n
)
\forall x,y \in \rm R^n(或\rm C^n)
∀x,y∈Rn(或Cn)，有
∣
∣
λ
x
+
y
∣
∣
≤
∣
∣
x
∣
∣
+
∣
∣
y
∣
∣
\vert\vert\lambda x+y\vert\vert\le\vert\vert x \vert\vert+\vert\vert y\vert\vert
∣∣λx+y∣∣≤∣∣x∣∣+∣∣y∣∣.（三角不等式）
则称
∣
∣
x
∣
∣
\vert\vert x\vert\vert
∣∣x∣∣是
R
n
(
或
C
n
)
\rm R^n(或\rm C^n)
Rn(或Cn)上的向量范数.
常用的向量范数
对
∀
x
=
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
T
∈
R
n
\forall x=(x_1,\cdots,x_n)^{\rm T}\in\rm R^n
∀x=(x1,⋯,xn)T∈Rn，
R
n
\rm R^n
Rn中三种常用的范数为
∣
∣
x
∣
∣
∞
=
m
a
x
1
⩽
i
⩽
n
∣
x
i
∣
\vert\vert x\vert\vert_\infty=\mathop{max}\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_i|
∣∣x∣∣∞=1⩽i⩽nmax∣xi∣，称为
∞
\infty
∞范数或最大范数；
∣
∣
x
∣
∣
1
=
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
\vert\vert x\vert\vert_1=\sum_{i=1}^n\vert x_i\vert
∣∣x∣∣1=∑i=1n∣xi∣，称为1-范数；
∣
∣
x
∣
∣
2
=
（
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
1
2
\vert\vert x\vert\vert_2=（\sum_{i=1}^nx_i^2)^\frac{1}{2}
∣∣x∣∣2=（∑i=1nxi2)21，称为2-范数或欧式范数.
一般的，
∣
∣
x
∣
∣
p
=
（
∑
i
=
1
n
∣
x
i
∣
p
)
1
p
(
0
≤
p
≤
∞
)
\vert\vert x\vert\vert_p=（\sum_{i=1}^n\vert x_i\vert^p)^\frac{1}{p}(0\le p\le\infty)
∣∣x∣∣p=（∑i=1n∣xi∣p)p1(0≤p≤∞)称为向量的p范数.
二、矩阵范数
定义：（矩阵范数）对
∀
A
∈
R
n
×
n
\forall A\in \rm R^{n×n}
∀A∈Rn×n，存在唯一的实数
∣
∣
A
∣
∣
\vert\vert A\vert\vert
∣∣A∣∣与之对应，满足条件：
∣
∣
A
∣
∣
≥
0
\vert\vert A\vert\vert\ge0
∣∣A∣∣≥0，当且仅当
A
=
0
A=0
A=0时，
∣
∣
A
∣
∣
=
0
\vert\vert A\vert\vert=0
∣∣A∣∣=0;（正定性）对
∀
λ
∈
R
n
(
或
C
n
)
\forall \lambda \in \rm R^n(或\rm C^n)
∀λ∈Rn(或Cn)，有
∣
∣
λ
A
∣
∣
=
∣
λ
∣
∣
∣
A
∣
∣
\vert\vert\lambda A\vert\vert=\vert\lambda\vert\vert\vert A\vert\vert
∣∣λA∣∣=∣λ∣∣∣A∣∣；（齐次性）对
∀
A
,
B
∈
R
n
×
n
\forall A,B \in \rm R^{n×n}
∀A,B∈Rn×n，有
∣
∣
A
+
B
∣
∣
≤
∣
∣
A
∣
∣
+
∣
∣
B
∣
∣
\vert\vert A+B\vert\vert\le\vert\vert A \vert\vert+\vert\vert B\vert\vert
∣∣A+B∣∣≤∣∣A∣∣+∣∣B∣∣；（三角不等式）对
∀
A
,
B
∈
R
n
×
n
\forall A,B\in R^{n×n}
∀A,B∈Rn×n，有
∣
∣
A
B
∣
∣
≤
∣
∣
A
∣
∣
∣
∣
B
∣
∣
\vert\vert AB\vert\vert\le\vert\vert A\vert\vert\vert\vert B\vert\vert
∣∣AB∣∣≤∣∣A∣∣∣∣B∣∣.（相容性）
则称
∣
∣
A
∣
∣
是
R
n
×
n
\vert\vert A\vert\vert是\rm R^{n×n}
∣∣A∣∣是Rn×n上的矩阵范数.
常用的矩阵范数
设
A
=
(
a
i
j
)
∈
C
n
×
n
A=(a_{ij})\in C^{n×n}
A=(aij)∈Cn×n，则下面三种规定的实值函数
∣
∣
A
∣
∣
m
1
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∣
a
i
j
∣
\vert\vert A\vert\vert_{m1}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\vert a_{ij}\vert
∣∣A∣∣m1=∑i=1n∑j=1n∣aij∣；
∣
∣
A
∣
∣
m
∞
=
n
⋅
m
a
x
i
,
j
∣
a
i
,
j
∣
\vert\vert A\vert\vert_{m\infty}=n·\mathop{max}\limits_{i,j}\vert a_{i,j}\vert
∣∣A∣∣m∞=n⋅i,jmax∣ai,j∣；
∣
∣
A
∣
∣
m
2
=
(
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
∣
a
i
j
∣
2
)
1
2
\vert\vert A\vert\vert_{m2}=(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\vert a_{ij}\vert^2)^\frac{1}{2}
∣∣A∣∣m2=(∑i=1n∑j=1n∣aij∣2)21.（也称F范数）
都是矩阵A的范数.
矩阵常用算子范数
设
A
=
(
a
i
j
)
∈
C
n
×
n
A=(a_{ij})\in C^{n×n}
A=(aij)∈Cn×n,
x
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
T
∈
C
n
x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{\rm T}\in C^n
x=(x1,x2,⋯,xn)T∈Cn，则从属于向量
x
x
x的3种范数
∣
∣
x
∣
∣
1
\vert\vert x\vert\vert_1
∣∣x∣∣1，
∣
∣
x
∣
∣
2
\vert\vert x\vert\vert_2
∣∣x∣∣2，
∣
∣
x
∣
∣
∞
\vert\vert x\vert\vert_\infty
∣∣x∣∣∞的算子范数依次是
1.
∣
∣
A
∣
∣
1
\vert\vert A\vert\vert_1
∣∣A∣∣1=
m
a
x
j
∑
i
=
1
m
∣
a
i
j
∣
\mathop{max}\limits_{j}\sum_{i=1}^m\vert a_{ij}\vert
jmax∑i=1m∣aij∣，称为列范数； 2.
∣
∣
A
∣
∣
2
\vert\vert A\vert\vert_2
∣∣A∣∣2=
λ
m
a
x
(
A
H
A
)
\sqrt{\lambda_{max}(A^{\rm H}A)}
λmax(AHA)
，称为谱范数，其中
λ
m
a
x
(
A
H
A
)
\lambda_{max}(A^{\rm H}A)
λmax(AHA)是矩阵
(
A
H
A
)
(A^{\rm H}A)
(AHA)特征值绝对值的最大值； 3.
∣
∣
A
∣
∣
∞
\vert\vert A\vert\vert_{\infty}
∣∣A∣∣∞=
m
a
x
i
∑
j
=
1
n
∣
a
i
j
∣
\mathop{max}\limits_{i}\sum_{j=1}^n\vert a_{ij}\vert
imax∑j=1n∣aij∣，称为行范数.